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江淮名卷·2023年中考模拟信息卷(二)2数学试卷答案

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4．函数$f（x）=x+\frac{1}{x}$在区间$[{\frac{1}{3}，3}]$上的最小值是（　　）

分析利用余弦定理求出cos2α，再利用三角函数中正切的半角公式即可证得．

解答证明：因为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1$（m＞0，n＞0）有公共的焦点F₁、F₂，
所以有：a²-b²=m²+n²，
不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上，设|PF₁|=p，|PF₂|=q．
由双曲线和椭圆的定义可得p+q=2a，p-q=2m，
解得p²+q²=2（a²+m²），pq=a²-m²，
在△PF₁F₂中，cos∠F₁PF₂=cos2α=$\frac{{p}^{2}+{q}^{2}-4{c}^{2}}{2pq}$=$\frac{{b}^{2}-{n}^{2}}{2（{a}^{2}-{m}^{2}）}$，
∴tanα=$\frac{1-cos2α}{sin2α}$=$\frac{1-\frac{{b}^{2}-{n}^{2}}{2（{a}^{2}-{m}^{2}）}}{\sqrt{1-[\frac{{b}^{2}-{n}^{2}}{2（{a}^{2}-{m}^{2}）}]^{2}}}$=$\frac{n}{b}$．

点评本题主要考查圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于根据椭圆和双曲线有相同的焦点F₁、F₂，及圆锥曲线的定义．属于中档题．