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2023年商洛市第一次高考模拟检测试卷(23-347C)数学试卷答案

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12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2$\sqrt{3}$cos²$\frac{C}{2}$=sinC+$\sqrt{3}$+1．
（1）求角C的大小；
（2）若a=2$\sqrt{3}$，c=2，求b．

分析（1）利用和角公式及降次公式对f（x）进行化简，得到f（x）=Asin（ωx+φ）形式，代入周期公式即可；
（2）由x的范围求出ωx+φ的范围，结合正弦函数单调性得出最值和相应的x．

解答解：（1）f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$-1
=cosx（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$-1
=$\frac{1}{2}$sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$-1
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{1+cos2x}{2}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$-1
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x-1
=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
∴当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，即x=$\frac{π}{4}$时，f_max（x）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-1$=-$\frac{3}{4}$；
当2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{12}$时，f_min（x）=$\frac{1}{2}×（-1）-1$=-$\frac{3}{2}$．

点评本题考查了三角函数的恒等变换及性质，对二次项进行降次及和差公式运用是常用方法．