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湖南省郴州市三月份金太阳联考数学试卷答案

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7．求椭圆的标准方程
（1）求经过点（2，-3），且与椭圆9x²+4y²=36有共同焦点的椭圆方程．
（2）已知椭圆经过点$（2，-\sqrt{2}）$和点$（-1，\frac{{\sqrt{14}}}{2}）$，求它的标准方程．

分析由已知得曲线C₁是以（-1，0）为圆心，2为半径的圆，直线C₂消去参数，得其普通方程为$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}+k=0$，由两曲线有公共点，得圆心（-1，0）到直线$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}+k=0$的距离小于等于半径，由此能求出k的取值范围．

解答解：∵曲线C₁的极坐标方程为ρ²+2ρcosθ-3=0，
∴曲线C₁的普通方程为x²+y²+2x-3=0，即（x+1）²+y²=4，
∴C₁是以（-1，0）为圆心，2为半径的圆，
∵直线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=k+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线C₂消去参数，得其普通方程为$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}+k=0$，
∵两曲线有公共点，
∴圆心（-1，0）到直线$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}+k=0$的距离d=$\frac{|-\sqrt{3}+\sqrt{3}+k|}{2}$≤2，
∴-4≤k≤4，
故选：D．

点评本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意参数方程、极坐标方程、普通方程的互化及点到直线的距离公式的合理运用．