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2023昆明市统测高三3月联考数学试卷答案

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9．已知函数f（x）=|x|，
（1）解不等式f（x-2）≤2-f（x）；
（2）证明：对任意实数x≠0，有$f（{\frac{1}{x}-1}）+f（{x+1}）≥2$．

分析根据$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0和|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|得出|$\overrightarrow{a}$|与|$\overrightarrow{b}$|的关系，代入夹角公式即可．

解答解：∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=4$\overrightarrow{a}$²，即$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=4${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴${\overrightarrow{b}}^{2}$=3${\overrightarrow{a}}^{2}$，∴|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|．
设向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
则cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}^{2}}{2|\overrightarrow{a}|•\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|}$=-$\frac{3{\overrightarrow{|a}|}^{2}}{2\sqrt{3}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴θ=$\frac{5π}{6}$．
故选：D．

点评本题考查了平面向量的数量积运算，求出|$\overrightarrow{a}$|与|$\overrightarrow{b}$|的关系是关键．