非凡吉创 2022-2023学年高三年级TOP二十名校调研模拟卷三数学试题答案 (更新中)

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试题答案

非凡吉创 2022-2023学年高三年级TOP二十名校调研模拟卷三数学试卷答案

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13.已知实数x、y、z满足x+y+z=0,x2+y2+z2=1,则x的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

分析(I)先利用条件列出关于a,c的方程解方程求出a,c,b;即可求出双曲线方程;
(II)先求出圆的切线方程,再把切线与双曲线方程联立求出关于点A,B坐标之间的方程,再代入求出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$,即可得证.

解答解:(Ⅰ)由题意可得,e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$,
$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
解得a=1,c=$\sqrt{3}$,b2=c2-a2=2,
即有所求双曲C的方程x2-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1;
(Ⅱ)设P(x0,y0)(x0y0≠0)在x2+y2=2上,
圆在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$(x-x0),
化简得x0x+y0y=2.
由$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-{y}^{2}=2}\\{{x}_{0}x+{y}_{0}y=2}\end{array}\right.$,以及x02+y02=2得
(3x02-4)x2-4x0x+8-2x02=0,
∵l与双曲线C交于不同的两点A、B,且0<x02<2,
3x02-4≠0,且△=16x02-4(3x02-4)(8-2x02)>0,
设A、B两点的坐标分别(x1,y1),(x2,y2),
x1+x2=$\frac{4{x}_{0}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$,x1x2=$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$.
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1x2+y1y2=x1x2+$\frac{1}{{{y}_{0}}^{2}}$(2-x0x1)(2-x0x2
=x1x2+$\frac{1}{2-{{x}_{0}}^{2}}$[4-2x0(x1+x2)+x02x1x2]
=$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$+$\frac{1}{2-{{x}_{0}}^{2}}$[4-$\frac{8{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$+$\frac{{{x}_{0}}^{2}(8-2{{x}_{0}}^{2})}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$]
=$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$-$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$=0.
可得OA⊥OB.

点评本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.

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话题:
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