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2023年呼和浩特市高三年级第一次质量数据监测数学试卷答案

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18．已知f（x）对任意x∈[0，+∞），都有f（x+1）=-f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=x，若函数g（x）=f（x）-${log}_{{a}^{（x+1）}}$（0＜a＜1）在区间[0，6]上有3个零点，则实数a的取值范围是（　　）

分析求出过F₁（c，0）且垂直于$y=-\frac{bx}{a}$的直线方程，求出它与$y=-\frac{bx}{a}$的交点坐标，求出点P的坐标，代入双曲线方程化简求解即可．

解答解：由题意过F₁（c，0）且垂直于$y=-\frac{bx}{a}$的直线方程为$y=\frac{a}{b}（x-c）$，
它与$y=-\frac{bx}{a}$的交点坐标为$（\frac{a^2}{c}，-\frac{ab}{c}）$，所以点P的坐标为$（\frac{{2{a^2}}}{c}-c，-\frac{2ab}{c}）$，
因为点P在双曲线上，$\frac{{{{（\frac{{2{a^2}}}{c}-c）}^2}}}{a^2}-\frac{{{{（-\frac{2ab}{c}）}^2}}}{b^2}=1$，
∵a²+b²=c²，可得c²=5a²，∴$\frac{c^2}{a^2}=5$，
∴$e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}$，
故选：A．

点评本题考查双曲线的性质的应用．是基础题．