焦作市普通高中2022-2023学年高三年级第二次模拟考试(3月)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

焦作市普通高中2022-2023学年高三年级第二次模拟考试(3月)数学试卷答案

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8.求函数$y={sin^2}x+cosx+1,x∈[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]$的最大、小值,及取得最大、小值时x的取值集合.

分析(1)由题意化简函数解析式可得:ymin=2cos(2C+$\frac{π}{3}$)+2=0,可得2C+$\frac{π}{3}$=2kπ+π,k∈Z,解得C=$\frac{π}{3}$,由同角三角函数关系式可求sinB,由正弦定理可求得b的值,利用三角形内角和定理可求sinA,由正弦定理即可解得a的值.
(2)由同角三角函数关系式可求cos(A-B),利用两角和的正弦函数公式可求sinA=sin[(A-B)+B].从而可求cosA,sinC=sin(A+B)的值,由正弦定理可解得a的值.

解答解:(1)∵y=3cos2x+sin2x-2$\sqrt{3}$sinxcosx
=2×$\frac{1+cos2x}{2}$+1-$\sqrt{3}$sin2x
=2cos(2x+$\frac{π}{3}$)+2,
∵ymin=2cos(2C+$\frac{π}{3}$)+2=2-2=0,此时由题意可得,2C+$\frac{π}{3}$=2kπ+π,k∈Z,解得:C=kπ+$\frac{π}{3}$,k∈Z.
∵C∈(0,π),
∴C=$\frac{π}{3}$.
∵cosB=$\frac{12}{13}$,sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{5}{13}$,c=12$\sqrt{3}$.
∴由正弦定理可得:b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{12\sqrt{3}×\frac{5}{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{120}{13}$,
∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{5}{13}×\frac{1}{2}+\frac{12}{13}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5+12\sqrt{3}}{26}$,
∴由正弦定理可得:a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{12\sqrt{3}×\frac{5+12\sqrt{3}}{26}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{60+144\sqrt{3}}{13}$.
(2)∵cosB=$\frac{12}{13}$,sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{5}{13}$,c=12$\sqrt{3}$.
∵sin(A-B)=$\frac{3}{5}$,可求:cos(A-B)=±$\frac{4}{5}$,
∴①当cos(A-B)=$\frac{4}{5}$时,可得:
sinA=sin[(A-B)+B]=sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB=$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{13}$=$\frac{56}{65}$,
cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{33}{65}$,
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{56}{65}$×$\frac{12}{13}$+$\frac{33}{65}$×$\frac{5}{13}$=$\frac{837}{845}$,
由正弦定理可得:a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{567840\sqrt{3}}{54405}$=$\frac{37856\sqrt{3}}{3627}$.
②当cos(A-B)=-$\frac{4}{5}$时,可得:
sinA=sin[(A-B)+B]=sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB=$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$+(-$\frac{4}{5}$)×$\frac{5}{13}$=$\frac{16}{65}$.
cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=-$\frac{63}{65}$.
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{16}{65}$×$\frac{12}{13}$+(-$\frac{63}{65}$)×$\frac{5}{13}$=-$\frac{123}{845}$(舍去).

点评本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,余弦函数的图象和性质,考查了分类讨论思想,计算量较大,属于中档题.

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