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2023届广东金太阳高三年级3月联考（807C·G DONG）数学试卷答案

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8．直线l过点M（2，1），且与椭圆$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$交于A，B两点，O是坐标原点．
（Ⅰ）若点M是弦AB的中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线l过椭圆的左焦点，求数量积$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值．

分析作出是f（x）的图象，利用换元法结合一元二次方程根的取值和分布关系进行求解即可．

解答解：作出函数f（x）的图象如图，
设f（x）=t，当t=0时，方程有3个根；
当t＞0时，方程有4个根，
当t＜0时，方程无解
∴要使关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，关于f（x）的方程f²（x）+bf（x）+c=0
等价为t²+bt+c=0有一个正实数根和一个等于零的根．
∴c=0，
此时t²+bt=t（t+b）=0，
则另外一个根为t=-b，
即f（x）=-b＞0，
即b＜0，c=0．
故选：B．

点评本题主要考查函数零点个数的判断，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．综合性较强，难度较大．