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钦州市2022年高一秋季学期教学质量监测数学试卷答案

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9．函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x在[2，4]上的最大值与最小值的差为1．

分析由数列递推式可得数列{a_n}为等差数列，并求得公差，结合a₂-1、a₃、a₇成等比数列求出首项，得到{a_n}前n项和S_n，代入（n-6）S_n，利用导数求得最值．

解答解：由a_n+1²=2S_n+n+4 ①，得
a_n²=2S_n-1+n-1+4（n≥2）②，
两式作差得：${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}=2{a}_{n}+1$．
∴${{a}_{n+1}}^{2}=（{a}_{n}+1）^{2}$，
∵a_n＞0，
∴a_n+1=a_n+1．
即a_n+1-a_n=1．
则数列{a_n}为等差数列，
∴a₃=a₂+d，a₇=a₂+5d，
由a₂-1、a₃、a₇成等比数列，得
$（{a}_{2}+d）^{2}=（{a}_{2}-1）（{a}_{2}+5d）$，即d²=3a₂d-a₂-5d，
∴${a}_{1}=\frac{2d（3-d）}{3d-1}$=$\frac{4}{2}=2$．
则${S}_{n}=2n+\frac{n（n-1）}{2}=\frac{{n}^{2}+3n}{2}$．
∴（n-6）S_n=（n-6）$•\frac{{n}^{2}+3n}{2}$=$\frac{1}{2}（{n}^{3}-3{n}^{2}-18n）$．
令f（n）=n³-3n²-18n，
则f′（n）=3n²-6n-18．
由f′（n）=0，解得：n=1+$\sqrt{7}$．
∵n∈N，∴取n=4．
∴当n=4时，f（n）有最小值为-56，
∴（n-6）S_n的最小值为-28．
故选；C．

点评本题考查数列递推式，考查了由数列递推式求数列的通项公式，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．