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2.在△ABC中,三边分别为a=2,b=3,c=4,求△ABC的面积.
分析先根据条件得出函数在(0,4]上的解析式f(x)$\left\{\begin{array}{l}{2-x,0<x<1}\\{2^x-1,1≤x≤4}\end{array}\right.$,再运用分类讨论和数形结合的方法确定零点和m的范围.
解答解:根据定义,当x∈(0,4]时,f(x)=max{2x-1,2-x}=$\left\{\begin{array}{l}{2-x,0<x<1}\\{2^x-1,1≤x≤4}\end{array}\right.$,
方程f(x)-mx2+1=0化为f(x)=mx2-1,记g(x)=mx2-1,分类讨论如下:
①当m>0时,g(x)的图象为开口向上的抛物线,
根据几何关系,g(x)的图象只与f(x)图象在y轴右边有公共点,如下图:
根据题意,方程:2x-1=mx2-1在(1,4]有两个交点,
分离参数得,m=$\frac{2^x}{x^2}$=h(x),令h'(x)=$\frac{2^x(xln2-2)}{x^3}$=0,解得x=$\frac{2}{ln2}$∈(2,3),
显然,当x=$\frac{2}{ln2}$时,h(x)min=h($\frac{2}{ln2}$)=$\frac{e^2ln^22}{4}$,且h(1)=2,h(2)=1,
要使原方程有两个实根,则$\frac{e^2ln^22}{4}$<m≤1;
几何意义:m=$\frac{e^2ln^22}{4}$时,两图象相切;m=1时,g(x)图象过点(4,15).
②当m<0时,g(x)的图象为开口向下的抛物线,
根据几何关系,g(x)的图象只与f(x)图象在y轴左边有公共点,
即方程f(x)-mx2+1=0在[-4,0)恰有两根,
若x=-4为方程的根,则f(-4)-16m+1=0,解得m=-$\frac{7}{8}$,
所以,由图可知,m∈[-$\frac{7}{8}$,0),
综合以上讨论得,m∈[-$\frac{7}{8}$,0)∪($\frac{e^2ln^22}{4}$,1],
故选:A.
点评本题主要考查了函数零点的判定,涉及奇函数与分段函数的图象与性质,运用了换元法,分离参数法和数形结合的解题思想,属于难题.
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