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2023届先知模拟卷(二)2数学试卷答案

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13．已知a＞b＞c，a+b+c=0，求证：$\frac{c}{a-c}$＞$\frac{c}{b-c}$．

分析由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanα=3，再利用二倍角公式，两角和差的正弦公式化简要求的式子，可得结果．

解答解：∵tanα+$\frac{1}{tanα}$=$\frac{10}{3}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），∴tanα=3，
∴sin（2α+$\frac{π}{4}$）+2cos$\frac{π}{4}$sin²α=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2α+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2α+2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{1-cos2α}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2α+$\frac{\sqrt{2}}{2}$═$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{2sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{2tanα}{{tan}^{2}α+1}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{6}{10}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

点评本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．