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2023辽宁名校联盟3月份联合考试数学试卷答案

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8．函数y=$\frac{2tanx}{1-tan^2x}$的最小正周期为（　　）

分析（1）y=g（x）=f（x）-e^xlnx-2e^x-$\frac{{e}^{x}}{x}$=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，g′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）}{{x}^{2}}$，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；
（2）2×3×4×…×n＞${e}^{n-{S}_{n}}$?ln1+ln2+…+lnn＞n-$（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}）$=$（1-1）+（1-\frac{1}{2}）$+$（1-\frac{1}{3}）$+…+$（1-\frac{1}{n}）$，?lnn＞1-$\frac{1}{n}$．构造函数h（x）=lnx-1-x，（x＞0），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答（1）解：y=g（x）=f（x）-e^xlnx-2e^x-$\frac{{e}^{x}}{x}$=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，
g′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）}{{x}^{2}}$，
则当$\frac{1}{2}≤x＜1$时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；当1＜x≤2时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=1时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）=-e．
又$g（\frac{1}{2}）$=-2$\sqrt{e}$，g（2）=-$\frac{1}{2}{e}^{2}$，$g（\frac{1}{2}）$＞g（2），∴当x=$\frac{1}{2}$时，g（x）取得最小值．
∴函数g（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值与最小值分别为：-e；-2$\sqrt{e}$．
（2）证明：2×3×4×…×n＞${e}^{n-{S}_{n}}$?ln1+ln2+…+lnn＞n-$（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}）$=$（1-1）+（1-\frac{1}{2}）$+$（1-\frac{1}{3}）$+…+$（1-\frac{1}{n}）$，
?lnn＞1-$\frac{1}{n}$．
构造函数h（x）=lnx-1-x，（x＞0），h′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，此时函数h（x）单调递增；当1＜x时，h′（x）＜0，此时函数h（x）单调递减．
∴h（x）≤h（1）=0，即lnx≤x-1，当且仅当x=1时等号成立，即$ln\frac{1}{n}$＜$\frac{1}{n}$-1，即lnn＞1-$\frac{1}{n}$．

点评本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．