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2023湖南金太阳高二3月联考数学试卷答案

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18．椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2+k}=1$的离心率为$\frac{1}{2}$，则k的值为（　　）

分析（1）设等比数列{a_n}的公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项公式；
（2）化简b_n=2^n-1+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求和．

解答解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
a₂是a₁与a₃-1的等差中项，即有a₁+a₃-1=2a₂，
即为1+q²-1=2q，解得q=2，
即有a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（2）${b_n}=\frac{{1+n（n+1）{a_n}}}{n（n+1）}（n∈{N^*}）$=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$
=2^n-1+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
数列{b_n}的前n项和$S_n^{\;}$=（1+2+2²+…+2^n-1）+（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+1-$\frac{1}{n+1}$=2ⁿ-$\frac{1}{n+1}$．

点评本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．