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2023届安徽省淮北市高三年级第一次模拟考试数学试卷答案

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2．在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内有一个高为$\sqrt{3}$的圆柱．
（1）求：圆柱表面积的最大值；
（2）在（1）的条件下，求该圆柱外接球的表面积和体积．

分析由AA₁⊥底面ABCD，得∠A₁CA是A₁C与平面ABCD所成的角，由此能求出A₁C与平面ABCD所成的角的大小．

解答解：∵AA₁⊥底面ABCD，
∴∠A₁CA是A₁C与平面ABCD所成的角，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，
∴AC=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，${A}_{1}C=\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，
∴tan∠A₁AC=$\frac{A{A}_{1}}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠A₁CA=arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴A₁C与平面ABCD所成的角为arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：D．

点评本题考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．