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2023届衡水金卷先享题信息卷 全国卷(三)3数学试卷答案

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13．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（　　）

分析（1）分段作出函数图象；
（2）观察图象得出x的值；
（3）分x≤0和x＞0两种情况讨论解出x．

解答解：（1）f（x）的图象如图所示：
（2）①若x≤0，则2^x=$\frac{1}{2}$，解得x=-1；
②若x＞0，则log₂x=$\frac{1}{2}$，解得x=$\sqrt{2}$．
综上，当f（x）=$\frac{1}{2}$时x=-1或x=$\sqrt{2}$．
（3）①若x≤0，则0＜2^x$＜\frac{1}{2}$，解得x＜-1，
②若x＞0，则0＜log₂x$＜\frac{1}{2}$，解得1$＜x＜\sqrt{2}$．
综上，当$0＜f（x）＜\frac{1}{2}$时，x的取值范围是（-∞，-1）∪（1，$\sqrt{2}$）．

点评本题考查了分段函数的图象和性质，常涉及分类讨论思想，属于基础题．