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2023年高考冲刺模拟试卷(二)2数学试卷答案

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8．已知{a_n}是各项项都为正数的数列，其前n项和为S_n，且满足2a_nS_n-a_n²=1
（Ⅰ）证明{S_n²}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{S_n²x^n-1}的前n项和T_n．

分析（1）通过a₃+a₅=a₂+a₄=14，a₃a₅=45，求出数列的公差，然后求解通项公式．
（2）求出${b_n}={2^n}（2n+1），（n≥2）$，然后利用错位相减法，求解前n项和．

解答解：（1）∵a₃+a₅=a₂+a₄=14，a₃a₅=45，
∴a₃=5，a₅=9或a₃=9，a₅=5…（1分）
∵d＞0，∴a₃=5，a₅=9…（2分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_3}={a_1}+2d=5\\{a_5}={a_1}+4d=9\end{array}\right.，⇒{a_1}=1，d=2$，
∴a_n=2n-1…（4分）
（2）由$\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+…+\frac{b_n}{2^n}={a_n}+1$，得：$\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+…+\frac{b_n}{2^n}=2n-1+{n^2}$
又 $\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+…+\frac{{{b_{n-1}}}}{{{2^{n-1}}}}=2（n-1）-1+{（n-1）^2}$，（n≥2），…（5分）
两式相减得：$\frac{b_n}{2^n}=2n+1$，
∴${b_n}={2^n}（2n+1），（n≥2）$…（6分）
又$\frac{b_1}{2}={a_1}+1$，则b₁=4，…（7分）
∴${b_n}=\left\{\begin{array}{l}{2^n}（2n+1），n≥2\\4，n=1\end{array}\right.$…（8分）
记${T_n}={b_2}+{b_3}+…{b_n}={2^2}（5）+{2^3}（7）+…+{2^n}（2n+1）$$2{T_n}={2^3}（5）+{2^4}（7）+…+{2^{n+1}}（2n+1）$…（9分）
相减得：$-{T_n}=4+{2^{n+1}}（1-2n）$
则${T_n}={2^{n+1}}（2n-1）-4$，…（11分）
∴${s_n}={2^{n+1}}（2n-1）$…（12分）

点评本题考查等差数列以及等比数列通项公式的应用，数列求和的基本方法，考查计算能力．