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2023届衡中同卷信息卷 全国卷(一)数学试卷答案

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3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₁作圆x²+y²=a²的一条切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，与双曲线的渐近线在第二象限内交于点D，且|CD|=|CF₂|，则双曲线的离心率为（　　）

分析（1）配方法化简f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，从而分类讨论以确定函数的解析式；
（2）分类讨论各段上的取值范围，从而求最小值的值．

解答解：（1）f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，
当t＞2时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，
∴g（t）=f（t）=t²-4t-4；
当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，
g（t）=f（2）=-8；
当t+1＜2，即t＜1时，f（x）在[t，t+1]上是减函数，
∴g（t）=f（t+1）=t²-2t-7；
从而g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t-7（t＜1）}\\{-8（1≤t≤2）}\\{{t}^{2}-4t-4（t＞2）}\end{array}\right.$；
（2）当t＜1时，t²-2t-7＞-8，
当t＞2时，t²-4t-4＞-8；
故g（t）的最小值为-8．

点评本题考查了配方法的应用及分段函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．