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2023届江西省西路片七校高三3月联考数学试卷答案

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6．已知等比数列{a_n}满足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若${b_n}={a_n}+{log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0成立的正整数n的最小值．

分析（1）根据新定义，写出一个“合一函数”即可（答案不唯一）；
（2）根据f（x）的单调性以及f（x）是“合一函数”，得出$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，利用方程与函数的关系，求出实数m的取值范围．

解答解：（1）根据题意，写出一个“合一函数”，如y=x，x∈[0，1]；
（或y=-x，x∈[-1，1]或y=x³，x∈[-1，1]或y=-x³或x∈[-1，1]，答案不唯一）；
（2）f（x）=$\sqrt{x+1}$+m是在[-1，+∞）的增函数，
由题意知，f（x）是“合一函数”时，存在区间[a，b]，
满足$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{a+1}+m=a}\\{\sqrt{b+1}+m=b}\end{array}\right.$；
即a、b是方程$\sqrt{x+1}$+m=x的两个根，
化简得a，b是方程x²-（2m+1）x+m²-1=0的两个根，
且$\left\{\begin{array}{l}{a≥m}\\{b＞m}\end{array}\right.$；
令g（x）=x²-（2m+1）x+m²-1，
得$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{g（m）≥0}\\{\frac{2m+1}{2}＞m}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{5}{4}$＜m≤-1，
所以实数m的取值范围是（-$\frac{5}{4}$，-1]．

点评本题考查了新定义的函数与方程的应用问题，也考查了构造函数的解题方法，转化为方程的根与函数图象与x轴交点的问题，是综合性题目．