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2023届江西六校高三年级3月联考数学试卷答案

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10．求证菱形的两条对角线互相垂直．

分析（1）解tan²x-tanx-6=0结合x为第四象限角可得tanx=-2，弦化切可得sinxcos（π-x）=-$\frac{tanx}{ta{n}^{2}x+1}$，代值计算可得；
（2）由题意tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=-2，sin²x+cos²x=1，解方程组结合x的范围可得．

解答解：（1）解tan²x-tanx-6=0可得tanx=3或tanx=-2，
又∵x为第四象限角，∴tanx=-2，
∴sinxcos（π-x）=-sinxcosx
=-$\frac{sinxcosx}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=-$\frac{tanx}{ta{n}^{2}x+1}$=-$\frac{-2}{4+1}$=$\frac{2}{5}$；
（2）∵tanx=-2，∴$\frac{sinx}{cosx}$=-2，结合sin²x+cos²x=1
可解得$\left\{\begin{array}{l}{sinx=-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{cosx=\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinx=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{cosx=-\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$，
∵x为第四象限角，∴$\left\{\begin{array}{l}{sinx=-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{cosx=\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$，
∴2cosx-sinx=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$

点评本题考查同角三角函数基本关系，涉及弦化切和方程组的解法，属中档题．