2023年普通高等学校招生全国统一考试 信息卷(二)2数学试题答案 (更新中)

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试题答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试 信息卷(二)2数学试卷答案

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15.函数f(x)=sinx+cosx(x∈R)的图象向右平移了m个单位后,得到函数y=f′(x)的图象,其中m∈(0,2π),则m的值是$\frac{3π}{2}$.

分析(I)由an+1=an2-an+1,n∈N*,an≠1,可得an+1-an=$({a}_{n}-1)^{2}$>0,即可证明.
(II)由an+1=an2-an+1,n∈N*,可得an+1-1=an(an-1),取倒数可得:$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$.利用“裂项求和”可得Sn=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$.另一方面:由an+1-1=an(an-1),可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$,因此Tn=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{n+1}-1}$,即可证明.

解答证明:(I)∵an+1=an2-an+1,n∈N*,an≠1,
∴an+1-an=$({a}_{n}-1)^{2}$>0,
∴an+1>an
∴数列{an}是递增数列.
(II)∵an+1=an2-an+1,n∈N*
∴an+1-1=an(an-1),
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}=\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n}}$,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$.
∴Sn=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$=$(\frac{1}{{a}_{1}-1}-\frac{1}{{a}_{2}-1})$+$(\frac{1}{{a}_{2}-1}-\frac{1}{{a}_{3}-1})$+…+$(\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n+1}-1})$
=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$
=3-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$.
由an+1-1=an(an-1),
可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$,
∴Tn=$\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{2}}•…•\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{2}-1}$•$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{3}-1}$•…•$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{3({a}_{n+1}-1)}$,
∴Sn+3Tn=3-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$+$\frac{3}{3({a}_{n+1}-1)}$=3.
∴Sn+3Tn=3.

点评本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”、“累乘求积”,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于难题.

2023年普通高等学校招生全国统一考试 信息卷(二)2数学
话题:
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