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2023年普通高等学校招生全国统一考试 信息卷(二)2数学试卷答案

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15．函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）的图象向右平移了m个单位后，得到函数y=f′（x）的图象，其中m∈（0，2π），则m的值是$\frac{3π}{2}$．

分析（I）由a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*，a_n≠1，可得a_n+1-a_n=$（{a}_{n}-1）^{2}$＞0，即可证明．
（II）由a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*，可得a_n+1-1=a_n（a_n-1），取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$．利用“裂项求和”可得S_n=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$．另一方面：由a_n+1-1=a_n（a_n-1），可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$，因此T_n=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{n+1}-1}$，即可证明．

解答证明：（I）∵a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*，a_n≠1，
∴a_n+1-a_n=$（{a}_{n}-1）^{2}$＞0，
∴a_n+1＞a_n．
∴数列{a_n}是递增数列．
（II）∵a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*，
∴a_n+1-1=a_n（a_n-1），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}=\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$．
∴S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{{a}_{1}-1}-\frac{1}{{a}_{2}-1}）$+$（\frac{1}{{a}_{2}-1}-\frac{1}{{a}_{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n+1}-1}）$
=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$
=3-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$．
由a_n+1-1=a_n（a_n-1），
可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$，
∴T_n=$\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{2}}•…•\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{2}-1}$•$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{3}-1}$•…•$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{3（{a}_{n+1}-1）}$，
∴S_n+3T_n=3-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$+$\frac{3}{3（{a}_{n+1}-1）}$=3．
∴S_n+3T_n=3．

点评本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”、“累乘求积”，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于难题．