2023届吉林金太阳高三年级3月联考数学试题答案 (更新中)

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试题答案

2023届吉林金太阳高三年级3月联考数学试卷答案

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14.已知复数z1,z2满足|z1|=1,|z2|=2,求|z1-2z2|的取值范围.

分析(1)联立直线方程和抛物线方程,由判别式为0求得p,则抛物线方程可求.由题意可得椭圆的c,结合离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$及隐含条件求出a,b,则椭圆方程可求;
(2)对直线l的斜率分类讨论:当直线l的斜率不存在时,即λ=-1时,直接求出.当直线l的斜率存在时,即λ∈[-2,-1)时,设直线l的方程为y=k(x-1),与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,再利用向量相等$\overrightarrow{FA}$=λ$\overrightarrow{FB}$,可得$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=λ,且λ<0,得到:λ+$\frac{1}{λ}$+2=$\frac{-4}{1+2{k}^{2}}$,由λ∈[-2,-1)可得到k2的取值范围.由于$\overrightarrow{MA}$=(x1-2,y1),$\overrightarrow{MB}$=(x2-2,y2),可得$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$=(x1+x2-4,y1+y2),$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}{|}^{2}$=(x1+x2-4)2+(y1+y22=4+$\frac{10}{1+2{k}^{2}}+\frac{2}{(1+2{k}^{2})^{2}}$,令t=$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$换元,利用配方法即可得出|$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$|的最小值.

解答解:(1)联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$,得x2+(2-2p)x+1=0.
由△=(2-2p)2-4=0,解得:p=2.
∴抛物线C1:y2=4x;
又椭圆C2:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线C1的焦点F重合,
∴c=1,且$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$a=\sqrt{2}$,则b2=a2-c2=1.
∴椭圆C2的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$;
(2)M(a2,0)=(2,0),
如图:当直线l的斜率不存在时,即λ=-1时,A(1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),B(1,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$),
又M(2,0),∴|$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|=|(-1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)+(-1,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$)|=2;
当直线l的斜率存在时,即λ∈[-2,-1)时,设直线l的方程为y=k(x-1),
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-x}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),y1≠0,y2≠0,
则x1+x2=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$,x1•x2=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$,
∴y1+y2=k(x1+x2)-2k=$\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}$ ①,
y1•y2=k2(x1x2-(x1+x2)+1)=$\frac{-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$ ②.
∵$\overrightarrow{FA}$=λ$\overrightarrow{FB}$,∴$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=λ,且λ<0.
将①式平方除以②式得:λ+$\frac{1}{λ}$+2=$\frac{-4}{1+2{k}^{2}}$,
由λ∈[-2,-1),得λ+$\frac{1}{λ}$∈[-$\frac{5}{2}$,-2),即λ+$\frac{1}{λ}$+2∈[-$\frac{1}{2}$,0).
∴-$\frac{1}{2}$≤$\frac{-4}{1+2{k}^{2}}$<0,解得k2≥$\frac{7}{2}$.
∵$\overrightarrow{MA}$=(x1-2,y1),$\overrightarrow{MB}$=(x2-2,y2),
∴$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$=(x1+x2-4,y1+y2),
又x1+x2-4=$\frac{-4(1+{k}^{2})}{1+2{k}^{2}}$,
∴$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}{|}^{2}$=(x1+x2-4)2+(y1+y22
=$\frac{16(1+{k}^{2})^{2}}{(1+2{k}^{2})^{2}}$+$\frac{4{k}^{2}}{(1+2{k}^{2})^{2}}$=$\frac{4(1+2{k}^{2})^{2}+10(1+2{k}^{2})+2}{(1+2{k}^{2})^{2}}$
=4+$\frac{10}{1+2{k}^{2}}+\frac{2}{(1+2{k}^{2})^{2}}$,
令t=$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$,∵k2≥$\frac{7}{2}$,
∴0<$\frac{1}{1+2{k}^{2}}≤\frac{1}{8}$,即t∈(0,$\frac{1}{8}$],
∴$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}{|}^{2}$=2t2+10t+4=2(t+$\frac{5}{2}$)2-$\frac{17}{2}$.
则$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}{|}^{2}$∈(4,$\frac{169}{32}$].
∴|$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$|的最小值为2.

点评本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质,考查了换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法,考查了分析问题和解决问题的能力,考查了推理能力和计算能力,属于难题.

2023届吉林金太阳高三年级3月联考数学
话题:
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