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[淄博一模]山东省淄博市2022-2023学年高三模拟考试数学试卷答案

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18．已知关于x的不等式$\frac{{{a^2}-a+1}}{a-1}≥|2x-1|+|x+1|$对于a∈（1，+∞）恒成立，求实数x的取值范围．

分析（1）设$f（x）=sinx-\frac{2}{π}x$，则f′（x）=cosx-$\frac{2}{π}$x，结合函数y=cosx的单调性，即可证明，即$sinx≥\frac{2}{π}x$．令$x=\frac{π}{a_n}$，显然$x=\frac{π}{a_n}∈[{0，\frac{π}{2}}]$，即可得出．
（2）由于a_na_n+1≥6，可得$\frac{π}{{{a_n}{a_{n+1}}}}∈（{0，\frac{π}{2}}）$，由（1）知$sin\frac{π}{{{a_n}{a_{n+1}}}}＞\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，再利用“裂项求和”即可得出．

解答证明：（1）设$f（x）=sinx-\frac{2}{π}x$，则f′（x）=cosx-$\frac{2}{π}$x，
结合函数y=cosx的单调性，知$?{x_0}∈（{0，\frac{π}{2}}）$，函数f（x）在区间（0，x₀）上递增，在$（{{x_0}，\frac{π}{2}}）$上递减，又$f（0）=f（{\frac{π}{2}}）=0$，
因此在$[{0，\frac{π}{2}}]$上，恒有f（x）≥0，即$sinx≥\frac{2}{π}x$．
令$x=\frac{π}{a_n}$，显然$x=\frac{π}{a_n}∈[{0，\frac{π}{2}}]$，故$sin\frac{π}{a_n}≥\frac{2}{a_n}$．
（2）∵a_na_n+1≥6，∴$\frac{π}{{{a_n}{a_{n+1}}}}∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
由（1）知$sin\frac{π}{{{a_n}{a_{n+1}}}}＞\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，
∴${S_n}＞2（{\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{{（{n+1}）（n+2）}}}）$，
=$2（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）=2（{\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}}）＞\frac{1}{3}$．
设$g（x）=sinx-x（0＜x＜\frac{π}{2}）$，则g′（x）=cosx-1＜0，∴函数g（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$单调递减．
∴g（x）＜g（0）=0，即当$x∈（{0，\frac{π}{2}}）时，恒有sinx＜x$．
∴${S_n}＜π（{\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}}）=π（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）$
=$π（{\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}}）＜\frac{π}{2}$．
∴$\frac{1}{3}＜{S_n}＜\frac{π}{2}$．

点评本题考查了利用导数研究函数的单调性、“裂项求和”方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．