[淄博一模]山东省淄博市2022-2023学年高三模拟考试数学试题答案 (更新中)

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试题答案

[淄博一模]山东省淄博市2022-2023学年高三模拟考试数学试卷答案

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18.已知关于x的不等式$\frac{{{a^2}-a+1}}{a-1}≥|2x-1|+|x+1|$对于a∈(1,+∞)恒成立,求实数x的取值范围.

分析(1)设$f(x)=sinx-\frac{2}{π}x$,则f′(x)=cosx-$\frac{2}{π}$x,结合函数y=cosx的单调性,即可证明,即$sinx≥\frac{2}{π}x$.令$x=\frac{π}{a_n}$,显然$x=\frac{π}{a_n}∈[{0,\frac{π}{2}}]$,即可得出.
(2)由于anan+1≥6,可得$\frac{π}{{{a_n}{a_{n+1}}}}∈({0,\frac{π}{2}})$,由(1)知$sin\frac{π}{{{a_n}{a_{n+1}}}}>\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$,再利用“裂项求和”即可得出.

解答证明:(1)设$f(x)=sinx-\frac{2}{π}x$,则f′(x)=cosx-$\frac{2}{π}$x,
结合函数y=cosx的单调性,知$?{x_0}∈({0,\frac{π}{2}})$,函数f(x)在区间(0,x0)上递增,在$({{x_0},\frac{π}{2}})$上递减,又$f(0)=f({\frac{π}{2}})=0$,
因此在$[{0,\frac{π}{2}}]$上,恒有f(x)≥0,即$sinx≥\frac{2}{π}x$.
令$x=\frac{π}{a_n}$,显然$x=\frac{π}{a_n}∈[{0,\frac{π}{2}}]$,故$sin\frac{π}{a_n}≥\frac{2}{a_n}$.
(2)∵anan+1≥6,∴$\frac{π}{{{a_n}{a_{n+1}}}}∈({0,\frac{π}{2}})$,
由(1)知$sin\frac{π}{{{a_n}{a_{n+1}}}}>\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$,
∴${S_n}>2({\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{{({n+1})(n+2)}}})$,
=$2({\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}})=2({\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}})>\frac{1}{3}$.
设$g(x)=sinx-x(0<x<\frac{π}{2})$,则g′(x)=cosx-1<0,∴函数g(x)在$({0,\frac{π}{2}})$单调递减.
∴g(x)<g(0)=0,即当$x∈({0,\frac{π}{2}})时,恒有sinx<x$.
∴${S_n}<π({\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{{({n+1})({n+2})}}})=π({\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}})$
=$π({\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}})<\frac{π}{2}$.
∴$\frac{1}{3}<{S_n}<\frac{π}{2}$.

点评本题考查了利用导数研究函数的单调性、“裂项求和”方法、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

[淄博一模]山东省淄博市2022-2023学年高三模拟考试数学
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