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福建省部分地市2023届高中毕业班第二次质量检测(2023.2)数学试卷答案

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5．已知幂函数f（x）=（a²-9a+19）x^2a-9的图象恒不过原点，则实数a=3．

分析（1）△=36a²≥0，当a=0时，不等式f（x）≤0化为x²≤0，即可得出解集；当a≠0时，△＞0，不等式化为（x-2a）（x-8a）≤0，对a分类讨论即可得出．
（2）由于a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式$\frac{f（x）}{x}$＞-2恒成立，可得$（\frac{f（x）}{x}）_{min}$＞-2.$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{16{a}^{2}}{x}$-10a，利用基本不等式的性质即可得出最小值．

解答解：（1）△=100a²-64a²=36a²≥0，
当a=0时，不等式f（x）≤0化为x²≤0，其解集为{0}；
当a≠0时，△＞0，不等式化为（x-2a）（x-8a）≤0，
当a＞0时，不等式的解集为{x|2a＜x＜8a}；
当a＜0时，不等式的解集为{x|8a＜x＜2a}．
综上可得：当a=0时，不等式的解集为{0}；
当a＞0时，不等式的解集为{x|2a＜x＜8a}；
当a＜0时，不等式的解集为{x|8a＜x＜2a}．
（2）∵a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式$\frac{f（x）}{x}$＞-2恒成立，
∴$（\frac{f（x）}{x}）_{min}$＞-2．
∵a＞0，且当x∈（0，+∞）时，$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{16{a}^{2}}{x}$-10a≥2$\sqrt{x×\frac{16{a}^{2}}{x}}$-10a=-2a，当且仅当x=4a时取等号．
∴-2a＞-2，又a＞0，
解得0＜a＜1．
∴a的取值范围是（0，1）．

点评本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．