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2023龙岩市质检高三3月联考数学试卷答案

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7．不等式$\frac{{\sqrt{x+1}}}{x-6}≤0$的解为[-1，6）．

分析由原数列递推式可得${a}_{1}+3{a}_{2}+{3}^{2}{a}_{3}+…+{3}^{n-2}{a}_{n-1}=（n-1）^{2}+1$，（n≥2），两式作差后可得${a}_{n}=\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$（n≥2），再由原数列递推式求得首项，验证后得答案．

解答解：由${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}{a_n}={n^2}+1（n∈{N^*}）$，得
${a}_{1}+3{a}_{2}+{3}^{2}{a}_{3}+…+{3}^{n-2}{a}_{n-1}=（n-1）^{2}+1$，（n≥2）
两式作差得：${3}^{n-1}{a}_{n}={n}^{2}-（n-1）^{2}=2n-1$（n≥2），
即${a}_{n}=\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$（n≥2），
又由${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}{a_n}={n^2}+1（n∈{N^*}）$求得a₁=2不适合上式，
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{2（n=1）}\\{\frac{2n-1}{{{3^{n-1}}}}（n≥2）}\end{array}}\right.$．

点评本题考查数列递推式，考查了作差法求数列的通项公式，是中档题．