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2023届先知模拟卷（二）新教材数学试卷答案

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14．已知A（2，0）、B（0，2），从点P（1，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（　　）

分析令f（x）=（x+$\frac{1}{2}$）（x+$\frac{1}{3}$）（x+$\frac{1}{4}$）…（x+$\frac{1}{99}$）（x+$\frac{1}{100}$），
（1）则集合M={$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$…，$\frac{1}{99}$，$\frac{1}{100}$}所有子集的“积数”之和即f（x）展开式中所有项数之和T-1，
（2）M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和，即f（x）展开式中所有偶次项数之和S．

解答解：（1）令f（x）=（x+$\frac{1}{2}$）（x+$\frac{1}{3}$）（x+$\frac{1}{4}$）…（x+$\frac{1}{99}$）（x+$\frac{1}{100}$），
则集合M={$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$…，$\frac{1}{99}$，$\frac{1}{100}$}所有子集的“积数”之和即f（x）展开式中所有项数之和T-1，
令x=1，则T=$\frac{3}{2}$•$\frac{4}{3}$•$\frac{5}{4}$•…•$\frac{100}{99}$•$\frac{101}{100}$=$\frac{101}{2}$，
∵$\frac{101}{2}$-1=$\frac{99}{2}$，
∴M的所有子集的“积数”之和为$\frac{99}{2}$，
（2）M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和，
即f（x）展开式中所有偶次项数之和S，
令x=1，则T=（-$\frac{1}{2}$）•（-$\frac{2}{3}$）•（-$\frac{3}{4}$）•…•（-$\frac{98}{99}$）•（-$\frac{99}{100}$）=-$\frac{1}{100}$，
由$\frac{\frac{101}{2}-\frac{1}{100}}{2}$=$\frac{5049}{200}$得；
M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和为$\frac{5049}{200}$．

点评本题考查的知识点是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，转化困难，属于难题．