牡丹江二中2022-2023学年度第一学期高二期末考试(8086B)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

牡丹江二中2022-2023学年度第一学期高二期末考试(8086B)数学试卷答案

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11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且是以4π为最小正周期的周期函数.
(1)若f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,$\frac{π}{2}$]),求ω和φ的值;
(2)若α是第一象限的角,当sinα=$\frac{1}{3}$时,求f(16$\sqrt{2}$π•tanα)的值.

分析(1)运用椭圆的离心率公式和直线方程代入椭圆方程,运用韦达定理和向量共线的坐标表示,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程;
(2)设直线l的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,利用韦达定理及$\overrightarrow{PR}$=2$\overrightarrow{RQ}$,确定P,Q坐标之间的关系,表示出面积,利用基本不等式求出S△OPQ的最大值,即可得到椭圆的方程.

解答解:(1)由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,可得c=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a,b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a,
直线l:y=$\sqrt{3}$(x+1)代入椭圆方程可得(b2+3a2)x2+6a2x+3a2-a2b2=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
可得x1+x2=-$\frac{6{a}^{2}}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$=-$\frac{9}{5}$,x2x1=$\frac{3{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$=$\frac{9-{a}^{2}}{10}$,
由$\overrightarrow{PR}$=2$\overrightarrow{RQ}$,可得-1-x1=2(x2+1),
解方程可得x1=-$\frac{3}{5}$,x2=-$\frac{6}{5}$,
即有|y1-y2|=$\sqrt{3}$|x1-x2|=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$,
三角形OPQ的面积为S=$\frac{1}{2}$|OR|•|y1-y2|=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3\sqrt{3}}{5}$=$\frac{3\sqrt{3}}{10}$;
(2)由(1)知,3b2=a2,∴椭圆的方程为x2+3y2=3b2,①
显然,直线l的斜率不为0;
若直线l与x轴垂直,此时P,Q关于x轴对称,不满足$\overrightarrow{PR}$=2$\overrightarrow{RQ}$;
因此,可设直线l的方程为y=k(x+1)②,
将②代入①中整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2=0,
因为直线l与椭圆交于P,Q两点,所以△=12(3k2b2-k2+b2)>0,③
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$④,x1x2=$\frac{3{k}^{2}-3{b}^{2}}{1+3{k}^{2}}$⑤
由$\overrightarrow{PR}$=2$\overrightarrow{RQ}$,
得(-x1-1,-y1)=2(1+x2,y2),
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-{x}_{1}=2(1+{x}_{2})}\\{-{y}_{1}=2{y}_{2}}\end{array}\right.$⑥
由④⑥得x1=$\frac{3-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$,x2=-$\frac{3+3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$⑦
∴S△OPQ=$\frac{1}{2}$|y1-y2|=$\frac{1}{2}$|k||x1-x2|=$\frac{3|k|}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{3}{3|k|+\frac{1}{|k|}}$
≤$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$当且仅当3|k|=$\frac{1}{|k|}$,即k2=$\frac{1}{3}$时,等号成立.
∴k2=$\frac{1}{3}$时,S△OPQ取得最大值.
由⑦求得x1=1,x2=-2,代入⑤,求得b2=$\frac{5}{3}$,满足③.
故所求椭圆的方程为x2+3y2=5,即$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{3y}^{2}}{5}$=1.

点评本题考查椭圆的方程的求法,注意运用直线和椭圆方程联立,由韦达定理和向量共线的坐标表示,考查三角形的面积及最大值,注意运用基本不等式,属于中档题.

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