2023年陕西省初中学业水平考试全真模拟(一)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

2023年陕西省初中学业水平考试全真模拟(一)数学试卷答案

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2023年陕西省初中学业水平考试全真模拟(一)数学

35.我国科学家利用二倍体竹子和二倍体水稻杂交得到F1,F1幼苗经秋水仙素处理,培育出新品种“中华竹稻”。下列有关叙述错误的是A.该育种方法是单倍体育种B.F1幼苗细胞中无同源染色体C.秋水仙素抑制纺锤体的形成D..竹子和水稻之间存在生殖隔离

分析(1)函数f(x)=$\frac{{e}^{x}+b}{{e}^{x}}$=1+$\frac{b}{{e}^{x}}$,f′(x)=-$\frac{b}{{e}^{-x}}$.利用f′(0)=-b=1,解得b.可得f(x)=1-$\frac{1}{{e}^{x}}$,要证明当x>-1时,f(x)≥$\frac{x}{x+1}$,即证明ex≥x+1,令g(x)=ex-x-1,(x>-1).利用当时研究其单调性极值即可得出.
(2)当x≥0时,不等式0≤f(x)=$1-\frac{1}{{e}^{x}}$≤$\frac{x}{ax+1}$,当x≥0,1-e-x∈[0,1),可得$\frac{x}{ax+1}$≥0,必须a≥0.于是不等式$1-\frac{1}{{e}^{x}}$≤$\frac{x}{ax+1}$恒成立?(ax+1)(1-e-x)-x≤0在[0,+∞)上恒成立.令u(x)=(ax+1)(1-e-x)-x,则u′(x)=a(1-e-x)+(ax+1)e-x-1,令v(x)=a(1-e-x)+(ax+1)e-x-1,v′(x)=e-x(2a-ax-1).对a分类讨论:当a=0时,容易验证.当a>0时,v′(x)=-ae-x$(x-\frac{2a-1}{a})$.对a分类讨论:i)若2a-1≤0,即$0<a≤\frac{1}{2}$时,v′(x)≤0,即可得出ii)若2a-1>0,即a$>\frac{1}{2}$时,当$0<x<\frac{2a-1}{a}$时,v′(x)>0舍去.

解答(1)证明:∵f(x)在点(0,f(0))处的切线为x-y=0.可知:切线的斜率为1.
函数f(x)=$\frac{{e}^{x}+b}{{e}^{x}}$=1+$\frac{b}{{e}^{x}}$,f′(x)=-$\frac{b}{{e}^{-x}}$.
∴f′(0)=-b=1,解得b=-1.
∴f(x)=1-$\frac{1}{{e}^{x}}$,
要证明当x>-1时,f(x)≥$\frac{x}{x+1}$,即证明ex≥x+1,
令g(x)=ex-x-1,(x>-1).
g′(x)=ex-1,
当x>0时,g′(x)>0,此时函数g(x)单调递增;当0>x>-1时,g′(x)<0,此时函数g(x)单调递减.
∴当x=0时,函数g(x)取得极小值即最小值,g(0)=0,
∴g(x)≥0,
∴ex≥x+1.
(2)解:当x≥0时,不等式0≤f(x)=$1-\frac{1}{{e}^{x}}$≤$\frac{x}{ax+1}$,
∵x≥0,1-e-x∈[0,1),∴$\frac{x}{ax+1}$≥0,
若x=0,则a∈R.若x>0,则ax+1>0,即a>-$\frac{1}{x}$恒成立,则a≥0.
于是不等式$1-\frac{1}{{e}^{x}}$≤$\frac{x}{ax+1}$恒成立?(ax+1)(1-e-x)-x≤0在[0,+∞)上恒成立.
令u(x)=(ax+1)(1-e-x)-x,u(0)=0,则u′(x)=a(1-e-x)+(ax+1)e-x-1,
令v(x)=a(1-e-x)+(ax+1)e-x-1,v′(x)=e-x(2a-ax-1),v(0)=0.
①当a=0时,v′(x)=-e-x<0,∴v(x)=u′(x)≤v(0)=0.
∴u(x)在[0,+∞)上单调递减,∴u(x)≤u(0)=0,∴f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立.
②当a>0时,v′(x)=-ae-x$(x-\frac{2a-1}{a})$.
i)若2a-1≤0,即$0<a≤\frac{1}{2}$时,v′(x)≤0,∴v(x)=u′(x)≤v(0)=0.
∴u(x)在[0,+∞)上单调递减,∴u(x)≤u(0)=0,∴f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立.
ii)若2a-1>0,即a$>\frac{1}{2}$时,当$0<x<\frac{2a-1}{a}$时,v′(x)>0,∴v(x)在$(0,\frac{2a-1}{a})$上单调递减,
∴v(x)=u′(x)>v(0)=0.
∴u(x)在$(0,\frac{2a-1}{a})$上单调递增,∴u(x)>u(0)=0,∴f(x)>g(x),不满足条件,舍去.
综上可得:当x≥0时,f(x)≤$\frac{x}{ax+1}$恒成立的实数a的取值范围是$[0,\frac{1}{2}]$.

点评本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、恒成立问题等价转化方法,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题.

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话题:
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