2023年铜川市高三第一次质量检测(TC1)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

2023年铜川市高三第一次质量检测(TC1)数学试卷答案

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2.△ABC中,点M在AC上,且$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{MC}$,点N是BC的中点,若$\overrightarrow{MB}$=(4,3),$\overrightarrow{MN}$=(1,5),则$\overrightarrow{AC}$=(-6,21).

分析(1)根据二倍角的余弦公式可以先分别求出${\overrightarrow{a}}^{2}=4co{s}^{2}\frac{α}{2},{\overrightarrow{b}}^{2}=4si{n}^{2}\frac{β}{2}$,根据α,β的范围可以求出$\frac{α}{2},\frac{β}{2}$的范围,从而可以得出$|\overrightarrow{a}|=2cos\frac{α}{2},|\overrightarrow{b}|=2sin\frac{β}{2}$;
(2)根据向量夹角的余弦公式及二倍角公式便可得到$cos{θ}_{1}=cos\frac{α}{2},cos{θ}_{2}=cos(\frac{β}{2}-\frac{π}{2})$,上面已得出$\frac{α}{2},\frac{β}{2}$的范围,这样可以求出$\frac{β}{2}-\frac{π}{2}$的范围,结合向量夹角的范围便可以得到${θ}_{1}=\frac{α}{2},{θ}_{2}=\frac{β}{2}-\frac{π}{2}$,从而可以求出$\frac{α-β}{4}$,从而得出$sin\frac{α-β}{4}$的值.

解答解:(1)证明:${\overrightarrow{a}}^{2}=(1+cosα)^{2}+si{n}^{2}α$=$2(1+cosα)=4co{s}^{2}\frac{α}{2}$;
∵α∈(0,π);
∴$\frac{α}{2}∈(0,\frac{π}{2})$;
∴$|\overrightarrow{a}|=2cos\frac{α}{2}$;
${\overrightarrow{b}}^{2}=2(1-cosβ)=4si{n}^{2}\frac{β}{2}$;
β∈(π,2π);
∴$\frac{β}{2}∈(\frac{π}{2},π)$;
∴$|\overrightarrow{b}|=2sin\frac{β}{2}$;
(2)根据条件,$cos{θ}_{1}=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}=\frac{1+cosα}{2cos\frac{α}{2}}=\frac{2co{s}^{2}\frac{α}{2}}{2cos\frac{α}{2}}=cos\frac{α}{2}$,$cos{θ}_{2}=\frac{1-cosβ}{2sin\frac{β}{2}}=sin\frac{β}{2}=cos(\frac{π}{2}-\frac{β}{2})$=$cos(\frac{β}{2}-\frac{π}{2})$;
∵$\frac{α}{2}∈(0,\frac{π}{2}),\frac{β}{2}∈(\frac{π}{2},π)$,$\frac{β}{2}-\frac{π}{2}∈(0,\frac{π}{2})$;
∴${θ}_{1},{θ}_{2}∈(0,\frac{π}{2})$;
∴${θ}_{1}=\frac{α}{2},{θ}_{2}=\frac{β}{2}-\frac{π}{2}$;
∴${θ}_{1}-{θ}_{2}=\frac{α}{2}-\frac{β}{2}+\frac{π}{2}=\frac{π}{6}$;
∴$\frac{α-β}{4}=-\frac{π}{6}$;
∴$sin(\frac{α-β}{4})=-\frac{1}{2}$.

点评考查二倍角的余弦公式,向量数量积的坐标运算,根据向量坐标求向量长度的方法,向量夹角的余弦公式,向量夹角的范围,以及三角函数的诱导公式.

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