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2023年全国名校高一第一学期期末考试（必修第一册-XJ-X-E-唐）数学试卷答案

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15．已知椭圆E：$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}$=1（a＞b＞0），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点A（-1，0）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）若椭圆E的任意两条互相垂直的切线相交于点P，证明：点P在一个定圆上．

分析根据偶函数的定义即可证明，根据周期的定义即可求出，根据函数的单调性即可求出值域．

解答解：f（-x）=cos（sin（-x））=cos（-sinx）=cos（sinx）=f（x），
又-1≤sinx≤1，
∴f（x）为偶函数，
当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，-1≤sinx≤1，
∴最小正周期为π，
∵cos（sin（x+π））=cos（-sinx）=cos（sinx），显然π是一个周期，
若该函数还有一个周期T＜π，则1=cos（sin0）=cos（sinT），即sinT=2kπ∈[-1，1]，即k只能为0，于是sinT=0，但0＜T＜π，矛盾！
∴最小正周期为π，
∵-1≤sinx≤1，cos（sinx）是偶函数，[0，$\frac{π}{2}$]区间单调递减
∴cos（1）≤cos（sinx）≤cos（0）
∴值域为[cos（1），1]，
故答案为：偶，π，[cos1，1]．

点评本题考查了复合函数的奇偶性，三角函数的周期性质，和值域，属于中档题．