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河北省2023届高三年级大数据应用调研联合测评(Ⅲ)数学试卷答案

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15．已知N（1，0），动点M满足$k+{（\overrightarrow{OM}）^2}=1+K{（\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}）^2}$，k∈R，其中O是坐标原点，
（1）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；
（2）如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足$\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤e≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求实数k的取值范围．

分析可考虑用向量解决，可以作出向量$\overrightarrow{OA}$表示风速，$\overrightarrow{OB}$表示飞机的实际航速，根据向量加法的平行四边形法则便可作出向量$\overrightarrow{OC}$表示没有风时飞机的航速，这样根据余弦定理和正弦定理便可求出向量$\overrightarrow{OC}$的长度及∠BOC的大小，即求出没有风时飞机的航速和航向．

解答解：如图，向量$\overrightarrow{OA}$表示风速，$\overrightarrow{OB}$表示飞机的航速，连接AB，过B作OA的平行线，过O作AB的平行线，两平行线交于C，则：

向量$\overrightarrow{OC}$表示没有风时飞机的航速；
在△OBC中，OB=150，BC=$75（\sqrt{6}-\sqrt{2}）$，∠OBC=135°；
∴由余弦定理得，$O{C}^{2}=15{0}^{2}+[75（\sqrt{6}-\sqrt{2}）]^{2}-2$$•150•75（\sqrt{6}-\sqrt{2}）（-\frac{\sqrt{2}}{2}）=15{0}^{2}•2$；
∴$OC=150\sqrt{2}$；
根据正弦定理，$\frac{150\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{150}{sin∠BOC}$；
∴$sin∠BOC=\frac{1}{2}$；
∴∠BOC=30°；
∴没有风时飞机的航速为$150\sqrt{2}$km/h，航向为北偏西60°．

点评考查向量法解决实际问题，以及余弦定理和正弦定理，已知三角函数值求角，向量加法的平行四边形法则．