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四川省乐山市高中2025届第一学期教学质量检测(2023.02)数学试卷答案

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15．已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x²+y²=1，动点M到圆的切线长与|MQ|的比值分别为1或2时，分别求出点M的轨迹方程．

分析确定抛物线的焦点坐标，利用双曲线的性质，可得几何量的关系，从而可得双曲线的方程．

解答解：∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一条渐近线的斜率为$\sqrt{2}$，且右焦点与抛物线${y^2}=4\sqrt{3}x$的焦点重合，
抛物线${y^2}=4\sqrt{3}x$的焦点坐标F（$\sqrt{3}$，0），双曲线渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{\frac{b}{a}=\sqrt{2}}\\{{a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，a=1，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$，
∴该双曲线的方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

点评本题考查双曲线的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线、抛物线性质的合理运用．