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永州市2022年下期高二期末质量监测(2月)数学试卷答案
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5.设z=3x+5y,其中变量x和y满足条件$\left\{{\begin{array}{l}{5x+3y≤15}\\{y≤x+1{\;}^{\;}}\\{x-5y≤3}\end{array}}\right.$,求z的最大值和最小值.
分析根据题意可得两个复根共轭,即关于x轴对称,又与原点组成正三角形,则每个根与x轴的夹角为30度或150度,得到|$\frac{\sqrt{4b-{a}^{2}}}{a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,化简即可.
解答解:因为两个复根共轭,即关于x轴对称.
又与原点组成正三角形,则每个根与x轴的夹角为30度或150度,其正切为$\frac{\sqrt{3}}{3}$或-$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
而复根为x=$\frac{1}{2}$(-a±i$\sqrt{4b-{a}^{2}}$),
所以有|$\frac{\sqrt{4b-{a}^{2}}}{a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
即4b-a2=$\frac{1}{3}$a2,
即b=$\frac{1}{3}$a2,
因为a≠0,否则a=b=0,两个复根都为0,不符.
所以有b>0.
点评本题考查了共轭复数和复根的求法,属于基础题.
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