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湖南省2022年下学期高一期末考试(标识★)数学试卷答案

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14．已知m=log₂5，求2^m-mlg2-4．

分析（1）运用椭圆的离心率公式和直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及$\overrightarrow{PR}$=2$\overrightarrow{RQ}$，确定P，Q坐标之间的关系，表示出面积，利用基本不等式求出S_△OPQ的最大值，即可得到椭圆的方程．

解答解：（1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得c=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
直线l：y=$\sqrt{3}$（x+1）代入椭圆方程可得（b²+3a²）x²+6a²x+3a²-a²b²=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{6{a}^{2}}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$=-$\frac{9}{5}$，x₂x₁=$\frac{3{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$=$\frac{9-{a}^{2}}{10}$，
由$\overrightarrow{PR}$=2$\overrightarrow{RQ}$，可得-1-x₁=2（x₂+1），
解方程可得x₁=-$\frac{3}{5}$，x₂=-$\frac{6}{5}$，
即有|y₁-y₂|=$\sqrt{3}$|x₁-x₂|=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
三角形OPQ的面积为S=$\frac{1}{2}$|OR|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3\sqrt{3}}{5}$=$\frac{3\sqrt{3}}{10}$；
（2）由（1）知，3b²=a²，∴椭圆的方程为x²+3y²=3b²，①
显然，直线l的斜率不为0；
若直线l与x轴垂直，此时P，Q关于x轴对称，不满足$\overrightarrow{PR}$=2$\overrightarrow{RQ}$；
因此，可设直线l的方程为y=k（x+1）②，
将②代入①中整理得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-3b²=0，
因为直线l与椭圆交于P，Q两点，所以△=12（3k²b²-k²+b²）＞0，③
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$④，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-3{b}^{2}}{1+3{k}^{2}}$⑤
由$\overrightarrow{PR}$=2$\overrightarrow{RQ}$，
得（-x₁-1，-y₁）=2（1+x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-{x}_{1}=2（1+{x}_{2}）}\\{-{y}_{1}=2{y}_{2}}\end{array}\right.$⑥
由④⑥得x₁=$\frac{3-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₂=-$\frac{3+3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$⑦
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$|k||x₁-x₂|=$\frac{3|k|}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{3}{3|k|+\frac{1}{|k|}}$
≤$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$当且仅当3|k|=$\frac{1}{|k|}$，即k²=$\frac{1}{3}$时，等号成立．
∴k²=$\frac{1}{3}$时，S_△OPQ取得最大值．
由⑦求得x₁=1，x₂=-2，代入⑤，求得b²=$\frac{5}{3}$，满足③．
故所求椭圆的方程为x²+3y²=5，即$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{3y}^{2}}{5}$=1．

点评本题考查椭圆的方程的求法，注意运用直线和椭圆方程联立，由韦达定理和向量共线的坐标表示，考查三角形的面积及最大值，注意运用基本不等式，属于中档题．