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山东省济宁市2022-2023学年度高二第一学期质量检测(2023.02)数学试卷答案

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19．己知椭圆的对称中心为原点O，焦点在x轴上，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F₁，F₂ 构成的三角形中面积的最大值为$\sqrt{3}$，且点（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程：
（2）已知点A，B是椭圆上的两动点，若OA⊥OB时，求|AB|的最小值．

分析由同角三角函数基本关系，结合诱导公式，整体计算可得．

解答解：∵α∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），∴α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{2}$，π），
∵sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin（$\frac{π}{3}$-α）=sin[$\frac{π}{2}$-（α+$\frac{π}{6}$）]=cos（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

点评本题考查诱导公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．