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2023年湖北省稀归、长阳、当阳、三峡四县区域性高三开学联合考试数学试卷答案

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11．已知点A（-1，2），B（3，-1）．则与向量$\overrightarrow{AB}$同方向的单位向量（$\frac{4}{5}，-\frac{3}{5}$）或（$-\frac{4}{5}，\frac{3}{5}$）．

分析（1）由已知得到$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，再把点的坐标代入椭圆方程，然后联立求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）当直线l₁，l₂的斜率存在且不为0时，分别设出两直线方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系求得R，S的坐标，写出直线方程，可得直线RS过点（$\frac{3}{5}，0$），验证直线l₁，l₂的斜率一个不存在而另一个为0时成立得答案．

解答解：（1）由题设知：$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ①，
又点（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）在椭圆C上，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{3{b}^{2}}=1$ ②，
联立①②解得：a²=3，b²=2，
∴c²=a²-b²=1，
则$a=\sqrt{3}，c=1$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由（1）知，F₂（1，0），
当直线l₁，l₂的斜率存在且不为0时，设l₁：y=k（x-1），则直线l₂：y=$-\frac{1}{k}（x-1）$，
再设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=$\frac{-4k}{2+3{k}^{2}}$．
∴MN的中点R（$\frac{3{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}，-\frac{2k}{2+3{k}^{2}}$），
同理可得PQ的中点S（$\frac{3}{2{k}^{2}+3}，\frac{2k}{2{k}^{2}+3}$），
则直线RS的斜率为$\frac{\frac{2k}{2{k}^{2}+3}+\frac{2k}{2+3{k}^{2}}}{\frac{3}{2{k}^{2}+3}-\frac{3{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}}$=$\frac{5k}{3（1-{k}^{2}）}$，
方程为$y-\frac{2k}{2{k}^{2}+3}=\frac{5k}{3-3{k}^{2}}（x-\frac{3}{2{k}^{2}+3}）$．
取y=0，得x=$\frac{3}{5}$，
∴直线RS过点（$\frac{3}{5}，0$）；
当直线l₁，l₂的斜率一个不存在而另一个为0时，直线RS过点（$\frac{3}{5}，0$）．
综上所述，直线RS过定点（$\frac{3}{5}，0$）．

点评本题考查椭圆方程的求法，考查直线必过某定点的证明．解题时要认真审题，注意直线与椭圆位置关系的灵活运用，是中档题．