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[株洲一模]湖南省株洲市2023届高三年级教学质量统一检测(一)1数学试卷答案

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9．已知数列{a_n}的前项n和为S_n，满足S_n=n²+3n+2（n∈N₊）
（1）求a_n；   
（2）求$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}$的值．

分析若y=f（u），u=g（x），则y′=f′（u）•g′（x），结合已知中的解析式，结合复合函数的求导法则，可得答案．

解答解：（1）∵y=$\sqrt{xsinx\sqrt{1-{e}^{x}}}$，
令u=$xsinx\sqrt{1-{e}^{x}}$，则y=${u}^{\frac{1}{2}}$
∴y′=（${u}^{\frac{1}{2}}$）′（$xsinx\sqrt{1-{e}^{x}}$）′
=$\frac{（xsinx\sqrt{1-{e}^{x}}）′}{2\sqrt{xsinx\sqrt{1-{e}^{x}}}}$
=$\frac{（xsinx）′（\sqrt{1-{e}^{x}}）+（xsinx）（\sqrt{1-{e}^{x}}）′}{2\sqrt{xsinx\sqrt{1-{e}^{x}}}}$
=$\frac{（sinx+xcosx）（\sqrt{1-{e}^{x}}）-（xsinx）（\frac{{e}^{x}}{2\sqrt{1-{e}^{x}}}）}{2\sqrt{xsinx\sqrt{1-{e}^{x}}}}$
=$\frac{2（sinx+xcosx）（1-{e}^{x}）-（{e}^{x}xsinx）}{4\sqrt{xsinx（1-{e}^{x}）}}$
（2）∵y=$\frac{\sqrt{x+2}（3-x）^{4}}{（x+1）^{5}}$．
∴y′=$\frac{[\sqrt{x+2}{（3-x）}^{4}]′（x+1）^{5}-[\sqrt{x+2}{（3-x）}^{4}][（x+1）^{5}]′}{{（x+1）}^{10}}$
=$\frac{[\frac{1}{2\sqrt{x+2}}{（3-x）}^{4}+\sqrt{x+2}•4{（3-x）}^{3}]{（x+1）}^{5}-[\sqrt{x+2}{（3-x）}^{4}]•5{（x+1）}^{4}}{{（x+1）}^{10}}$
=$\frac{[\frac{1}{2\sqrt{x+2}}{（3-x）}^{4}+\sqrt{x+2}•4{（3-x）}^{3}]{（x+1）}^{\;}-5[\sqrt{x+2}{（3-x）}^{4}]}{{（x+1）}^{6}}$

点评本题考查的知识点是复合函数求导，运算量比较大，属于难题．