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河北省保定市2022-2023学年度第一学期高二期末调研考试数学试卷答案

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1．（1）求与双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同焦点，且经过点（3$\sqrt{2}$，2）的双曲线的标准方程．
（2）已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，求该双曲线的方程．

分析设sinA=m，sinB=n，由正弦定理和余弦定理分析出cosC有唯一确定值的方法．

解答解：设sinA=m，sinB=n，由正弦定理$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}=k$，得到a=$\frac{sinA}{k}$=$\frac{m}{k}$，b=$\frac{4}{5k}$=$\frac{n}{k}$，c=$\frac{sinC}{k}$，
又由余弦定理得到cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-1+co{s}^{2}C}{2mn}$，所以cos²C-2mncosC+（m²+n²-1）=0，
因为cosC具有唯一确定的值，所以判别式△=4m²n²-4（m²+n²-1）=0，
化简得（m²-1）（n²-1）=0，由于m，n不能同时为1，所以m，n只有一个为1时，即三角形为直角三角形时，cosC有唯一确定的值；此时A=0；
故答案为：0．

点评本题考查了正弦定理和余弦定理的运用；从方程判别式的角度求出cosC有唯一确定值的方法．