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安徽省2023届八年级阶段诊断 R-PGZX F AH(四)4数学试卷答案
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8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2c，若椭圆上存在点M使得$\frac{a}{sin∠M{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{c}{sin∠M{F}_{2}{F}_{1}}$，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
| A． | （0，$\sqrt{2}$-1） | B． | （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1） | C． | （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$） | D． | （$\sqrt{2}$-1，1） |
分析（1）利用函数的单调性的定义求解证明即可．
（2）利用函数的单调性直接求解函数的值域即可．
解答解：（1）证明：在区间（0，+∞）任意取x1，x2，且x1＜x2有$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{x_1}-\frac{1}{x_1}）-（{x_2}-\frac{1}{x_2}）$=$（{x_1}-{x_2}）（1+\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}）$
由条件知x1-x2＜0且$1+\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}＞0$有f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
所以，f（x）在区间（0，+∞）为单调递增函数…（6分）；
（2）由（1）知f（x）在区间（0，+∞）为单调递增函数，所以${[f（x）]_{max}}=f（2）=\frac{3}{2}$，
[f（x）]min=f（1）=0，所以f（x）在[1，2]上的值域为$[0，\frac{3}{2}]$…（6分）．
点评本题考查函数的单调性的证明与应用，考查计算能力．
安徽省2023届八年级阶段诊断 R-PGZX F AH(四)4数学