耀正文化2023届高考仿真模拟卷(四)4数学试题答案 (更新中)

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试题答案

耀正文化2023届高考仿真模拟卷(四)4数学试卷答案

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1.已知函数f(x)=|log2|x-2||+k有四个零点x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4+k的取值范围为(  )

A.(8,+∞)B.(4,+∞)C.(-∞,8)D.(-∞,4)

分析(1)由已知得曲线C1是以F1(-$\sqrt{3}$,0),F2($\sqrt{3}$,0)为焦点,以4为实轴的椭圆,抛物线C2的焦点是F(1,0),顶点为原点O.由此能求出求C1,C2的标准方程.
(2)设直线l的方程为y=k(x-1),由$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-1)}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,由此利用韦达定理结合向量垂直数量积为0的性质能求出直线l的方程.

解答解:(1)∵曲线C1上任意一点M满足|MF1|+|MF2|=4,其中F1(-$\sqrt{3}$,0),F2($\sqrt{3}$,0),
∴曲线C1是以F1(-$\sqrt{3}$,0),F2($\sqrt{3}$,0)为焦点,以4为实轴的椭圆,
∴a=2,c=$\sqrt{3}$,∴b2=4-3=1,
∴曲线C1的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$.
∵抛物线C2的焦点是直线y=x-1与x轴的交点,顶点为原点O,
∴抛物线C2的焦点是F(1,0)
∴抛物线C2的标准方程为:y2=4x.…(6分)
(2)假设存在存在直线直线l满足条件:①过C2的焦点F;②与C1交于不同两点M,N,且满足$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$,
当直线l的斜率k不存在时,直线l的方程为x=0,不满足条件;
当直线l的斜率k存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-1)}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$,${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$,
${y}_{1}{y}_{2}={k}^{2}({x}_{1}-1)({x}_{2}-1)$=k2[x1x2-(x1+x2)+1],
∵$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$,∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+k2
=$(1+{k}^{2})•\frac{4{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$-${k}^{2}•\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$+k2=0,
解得k=2或k=-2,
∴直线l满足条件,且l的方程为y=2x-2或y=-2x+2.…(13分)

点评本题考查椭圆、抛物线的标准方程的求法,考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法,是中档题,解题时要注意圆锥曲线的性质和韦达定理、向量垂直的性质的合理运用.

耀正文化2023届高考仿真模拟卷(四)4数学
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