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2022-2023衡水金卷先享题专项分组练(山东专版)数学试卷答案

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19.下丘脑是神经系统的一部分,也是调节内分泌活动的枢纽,参与人体的体温、血糖等许多生命活动的调节。下图是下丘脑调节人体生理活动的部分示意图,图中字母代表不同激素。下列叙述正确的是A.激素B的分泌只受下丘脑和垂体的调节B.损坏下丘脑有可能使人体的体温类似于变温动物C.激素D的作用是促使葡萄糖进入肌细胞合成肌糖原D.神经调节较体液调节迅速、作用范围广、作用时间长

分析令x=$\frac{1}{u}$，则dx=-$\frac{1}{u^2}$du，左边=${∫}_{x}^{1}$$\frac{dx}{1+{x}^{2}}$=${∫}_{\frac{1}{x}}^{1}$$\frac{1}{1+（\frac{1}{u}）^2}$•（-$\frac{1}{u^2}$）du=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{1}{u^2+1}$du=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{dx}{x^2+1}$=右边．

解答证明：令x=$\frac{1}{u}$，则dx=d$\frac{1}{u}$=-$\frac{1}{u^2}$du，所以，
左边=${∫}_{x}^{1}$$\frac{dx}{1+{x}^{2}}$=${∫}_{\frac{1}{x}}^{1}$$\frac{1}{1+（\frac{1}{u}）^2}$•（-$\frac{1}{u^2}$）du
=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{1}{1+（\frac{1}{u}）^2}$•$\frac{1}{u^2}$du
=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{1}{u^2+1}$du
=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{dx}{x^2+1}$
=右边．
因此，${∫}_{x}^{1}$$\frac{dx}{1+{x}^{2}}$=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{dx}{x^2+1}$．

点评本题主要考查了定积分的运算，以及运用换元法证明积分恒等式，属于中档题．