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江西省上饶市2022-2023学年度高一上学期期末教学质量测试数学试卷答案
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18．设函数f（x）=mx2+2mx+1．
（1）当m=1时，求不等式f（x）＞-x-2的解集．
（2）若f（x）＞0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
分析利用三角恒等变换化简函数f（x），根据三角函数的单调性求出函数f（x）的递增区间，
再根据三角函数的图象与性质求出f（x）在x∈[0，$\frac{7π}{24}$]的值域．
解答解：函数f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx）•cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\sqrt{2}$（sinxcosx+cos2x）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\sqrt{2}$（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$…（1分）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{4}$）；…（2分）
（1）当-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z时，函数f（x）单调递增，…（4分）
∴-$\frac{3π}{4}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的递增区间为[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z；…（6分）
（2）当x∈[0，$\frac{7π}{24}$]时，2x∈[0，$\frac{7π}{12}$]，
2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]，
sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]；…（8分）
∴f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1]，…（10分）
即函数f（x）的值域为[$\frac{1}{2}$，1]． …（12分）
点评本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是基础题目．
