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衡中同卷 2022-2023学年度高三一轮复习滚动卷 新教材(六)6数学试卷答案

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1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，左右顶点分别为A₁，A₂，过F₁作斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点，△ABF₂的周长为8．椭圆上一点P与A₁，A₂连线的斜率之积${k_{P{A_1}}}•{k_{P{A_2}}}=-\frac{1}{4}$（点P不是左右顶点A₁，A₂）．
（Ⅰ）求该椭圆方程；
（Ⅱ）已知定点M（0，m）（其中常数m＞0），求椭圆上动点N与M点距离的最大值．

分析设该三角形的面积为S，a=$\frac{2S}{3}$，b=$\frac{S}{2}$，c=$\frac{S}{3}$，再代入面积公式解出S，进而求得三边之长．

解答解：设该三角形的面积为S，则有：
S=$\frac{1}{2}$ah_a=$\frac{1}{2}$bh_b=$\frac{1}{2}$ch_c，且h_a=3，h_b=4，h_c=6，
所以，a=$\frac{2S}{3}$，b=$\frac{S}{2}$，c=$\frac{S}{3}$，
代入公式S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}×{b}^{2}-（\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2}）^{2}]}$并平方得，
S²=$\frac{1}{4}$[$\frac{4S^2}{9}$•$\frac{S^2}{4}$-$\frac{1}{4}$•（$\frac{4S^2}{9}$+$\frac{S^2}{4}$-$\frac{S^2}{9}$）²]，
整理得，4S²=$\frac{S^4}{9}$-$\frac{49S^4}{24^2}$，
解得，S=$\frac{48}{\sqrt{15}}$=$\frac{16\sqrt{15}}{5}$，
所以，a=$\frac{2S}{3}$=$\frac{32\sqrt{15}}{15}$，b=$\frac{S}{2}$=$\frac{8\sqrt{15}}{5}$，c=$\frac{S}{3}$=$\frac{16\sqrt{15}}{15}$，
故选A．

点评本题主要考查了应用三角形的面积公式求三角形的三边长，具有一定的运算技巧，属于中档题．