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2023届高考精准备考原创模拟卷(三)3数学试卷答案

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17．下列四个命题中．真命题的个数是（　　）
①存在这样的角α和β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
②不存在无穷多个角α和β，使cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
③对于任意的角α和β，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
④不存在这样的角α和β，cos（α+β）≠cosαcosβ-sinαsinβ

分析首先将三角形的顶点坐标化，根据向量的夹角为钝角，得到数量积公式小于0，求出λ范围．

解答解：以A为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），则$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（1，0），
$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AC}$-$λ\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{2}-λ$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{AC}$的夹角θ大于90°，
所以cosθ＜0，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{AC}$＜0，
所以$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-λ）+\frac{3}{4}＜0$，解得λ＞2；
故选A．

点评本题考查了平面向量的数量积公式的运用；向量夹角为钝角，则它们的数量积小于0．