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衡水金卷先享题2022-2023上学期高三年级七调(新教材)数学试卷答案

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2．设函数f（x）=x³-6x²+16x-5-sinπx，{a_n}是公差不为零的等差数列，若$\sum_{i=1}^{10}$f（a_i）=110，则$\sum_{i=1}^{10}$a_i=（　　）

分析将函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，即可求f（x）的值域．；
（2）由函数的图象在[0，m]上恰好有两个点的纵坐标为1，令函数值为1，表示出x，根据k为整数，取k=0，k=1，分别求出对应x的值，即可确定出m的范围．

解答解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-（cos²x-sin²x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∴T=$\frac{2π}{2}$=2；
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，∴0≤2x≤π，
∴-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1≤2sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤2，
∴x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的值域为[-1，2]；
（2）2sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1，则sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$  
∴2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，
∴2x=2kπ+$\frac{π}{3}$或2x=2kπ+π，
∴x=kπ+$\frac{π}{6}$或x=kπ+$\frac{π}{2}$，
k=0，x=$\frac{π}{6}$或x=$\frac{π}{2}$，k=1，x=$\frac{7π}{6}$或x=$\frac{3π}{2}$，
∴m∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$）．

点评此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．