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神州智达2023年普通高等学校招生全国统一考试(信息卷Ⅱ)数学试卷答案

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19．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的四个点M（1，1）、$P（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$、Q（2，1）、$H（{2，\frac{1}{2}}）$中，“好点”的个数为（　　）个．

分析由配方可得，函数y表示点P（x，0）到点A（0，2）和B（1，1）的距离之和．作出A关于x轴的对称点A′，连接A'B．运用两点之间线段最短，可得最小值为|A'B|的长．

解答解：函数y=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$
=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+（0-1）^{2}}$
表示点P（x，0）到点A（0，2）和B（1，1）的距离之和．
作出A关于x轴的对称点A′，连接A′B．
由|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|P′A|+|P′B|
=|P′A′|+|P′B|=|A′B|，
而A′（0，-2），|A'B|=$\sqrt{（1-0）^{2}+（1+2）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
即有函数y的最小值为$\sqrt{10}$．

点评本题考查函数的最值的求法，注意运用几何意义，借助对称知识，由两点之间线段最短，属于中档题．