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2023届炎德英才大联考湖南师大附中高三月考试卷(五)5数学试卷答案

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8．已知等差数列{a_n}中，a₇+a₉=16，a₄=4，则a₆的值是（　　）

分析作图，从而可得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，不妨设P（x，y）（x＞0，y＞0）；从而可得y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；从而求数量积即可．

解答解：作图如右图，
由题意得，a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
不妨设P（x，y）（x＞0，y＞0）；
△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•y=1，
即$\sqrt{3}$y=1，
故y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1解得，
x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
故$\overrightarrow{{PF}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
故$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）（$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）+（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
=$\frac{8}{3}$-3+$\frac{1}{3}$=0，
故答案为：0．

点评本题考查了椭圆的简单性质的判断与应用，同时考查了平面向量的应用．