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九师联盟 2022-2023学年高三1月质量检测(L/X)G数学试卷答案

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7．《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜，中斜和大斜，“术”即方法．以S，a，b，c分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜，h_a，h_b，h_c分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高，所以S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}×{b}^{2}-（\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2}）^{2}]}$=$\frac{1}{2}$ah_a=$\frac{1}{2}$bh_b=$\frac{1}{2}$ch_c．已知h_a=3，h_b=4，h_c=6，根据上述公式，可以推理其对应边分别为（　　）

分析（1）由题意得c、$\frac{1}{a}$是方程f（x）=0的两个根，欲比较$\frac{1}{a}$与c的大小，利用反证法去证明$\frac{1}{a}$＜c不可能，从而得到$\frac{1}{a}$＞c；
（2）由题意求出$\frac{c}{a}$≥2，$\frac{{b}^{2}-2ac}{ab-{a}^{2}}$=$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$≥$\frac{5}{2}$．问题得以解决．

解答解：（1）∵f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，
∴f（x）=0有两个不同的实数根x₁，x₂．
∵f（c）=0，∴c是方程f（x）=0的一个根，
不妨设x₁=c，
∵x₁x₂=$\frac{c}{a}$，∴x₂=$\frac{1}{a}$（$\frac{1}{a}$≠c），
假设$\frac{1}{a}$＜c，又$\frac{1}{a}$＞0，由0＜x＜c时，f（x）＞0，
得f（$\frac{1}{a}$）＞0，与已知f（$\frac{1}{a}$）=0矛盾，
∴$\frac{1}{a}$＞c．
（2）∵函数f（x）在x=-1处取得最大值0，则f（-1）=a-b+c=0可知b=a+c，-$\frac{b}{2a}$≤-$\frac{3}{2}$，
∴-$\frac{a+c}{2a}$≤-$\frac{3}{2}$，
解得$\frac{c}{a}$≥2，
∴$\frac{{b}^{2}-2ac}{ab-{a}^{2}}$=$\frac{（a+c）^{2}-2ac}{a（a+c）-{a}^{2}}$=$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$≥$\frac{5}{2}$．
∴$\frac{{b}^{2}-2ac}{ab-{a}^{2}}$的最小值为$\frac{5}{2}$．

点评本题考查了利用反证法证明不等式，以及二次函数的性质，属于中档题．