益阳市2022年高三下学期期末质量检测(1月)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

益阳市2022年高三下学期期末质量检测(1月)数学试卷答案

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17.已知角α的终边经过点M(π,-$\sqrt{2}$),则sin2α+cos2α=1.

分析设|MF1|=m,|MF2|=n,∠MF1F2=α,∠MF2F1=β.△MF1F2中,由正弦定理可得:$\frac{n}{sinα}=\frac{m}{sinβ}=\frac{2c}{sin(α+β)}$,可得$\frac{n+m}{sinα+sinβ}$=$\frac{2a}{sinα+sinβ}$=$\frac{2c}{sin(α+β)}$,a(sinαcosβ+cosαsinβ)=csinα+csinβ.(*)已知$\frac{a}{sinα}=\frac{c}{sinβ}$,可得sinβ=$\frac{csinα}{a}$.代入可得acosβ=$c+\frac{{c}^{2}}{a}$-ccosα,利用同角三角函数的平方关系可得:a2=(csinα)2+$(c+\frac{{c}^{2}}{a}-ccosα)^{2}$,利用cosα∈[-1,1),化简整理解出即可得出.

解答解:设|MF1|=m,|MF2|=n,∠MF1F2=α,∠MF2F1=β.
△MF1F2中,由正弦定理可得:$\frac{n}{sinα}=\frac{m}{sinβ}=\frac{2c}{sin(α+β)}$,
∴$\frac{n+m}{sinα+sinβ}$=$\frac{2a}{sinα+sinβ}$=$\frac{2c}{sin(α+β)}$,
∴a(sinαcosβ+cosαsinβ)=csinα+csinβ.(*)
已知$\frac{a}{sinα}=\frac{c}{sinβ}$,∴sinβ=$\frac{csinα}{a}$.
代入可得acosβ=$c+\frac{{c}^{2}}{a}$-ccosα,
∴a2=(csinα)2+$(c+\frac{{c}^{2}}{a}-ccosα)^{2}$,
化为:cosα=$\frac{{a}^{4}-2{a}^{2}{c}^{2}-2a{c}^{3}-{c}^{4}}{2({a}^{2}{c}^{2}+a{c}^{3})}$∈[-1,1),
化为-1≤$\frac{1-2{e}^{2}-2{e}^{3}-{e}^{4}}{2{e}^{2}+2{e}^{3}}$<1,0<e<1,
化为e2+2e-1>0,
解得$\sqrt{2}-1$<e<1.
解得e∈($\sqrt{2}$-1,1).
故答案为:($\sqrt{2}$-1,1).

点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、正弦定理、比例的性质、三角函数化简、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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益阳市2022年高三下学期期末质量检测(1月)数学
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