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铜仁市2022~2023学年度高一第一学期期末质量监测(1月)数学试卷答案

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29.模型是人们为了某种特定目的面对认识对象所作的一种简化的概括性的描述。关于模型的叙述,错误的是A.实物模型的制作要首先考虑是否美观B.DNA的双螺旋结构模型是物理模型C.模型要体现事物的本质和规律性的联系D.数学模型可以用特定的公式,图表等表示示

分析（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a=4}\\{{a}^{2}={c}^{2}+{b}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）设切线l的方程为：ty=x-m．|m|≥1．则$\frac{|m|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=1，可得m²=t²+1．与椭圆方程联立化为：（t²+4）y²+2tmy+m²-4=0，△＞0，4+t²＞m²，利用根与系数的关系可得|AB|=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a=4}\\{{a}^{2}={c}^{2}+{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．
∴椭圆G的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）设切线l的方程为：ty=x-m．|m|≥1．
则$\frac{|m|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=1，∴m²=t²+1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ty=x-m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（t²+4）y²+2tmy+m²-4=0，
△＞0，可得4+t²＞m²，
∴y₁+y₂=$\frac{-2tm}{{t}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-4}{{t}^{2}+4}$，
|AB|=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[\frac{4{t}^{2}{m}^{2}}{（{t}^{2}+4）^{2}}-\frac{4（{m}^{2}-4）}{{t}^{2}+4}]}$=$\frac{4\sqrt{3}|m|}{{m}^{2}+3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{|m|+\frac{3}{|m|}}$≤$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$=2，当且仅当|m|=$\sqrt{3}$时取等号．
此时|AB|取得最大值2．

点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的充要条件、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．