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华普教育 2023全国名校高考分科综合卷(三)3数学试卷答案

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8．已知{a_n}是各项项都为正数的数列，其前n项和为S_n，且满足2a_nS_n-a_n²=1
（Ⅰ）证明{S_n²}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{S_n²x^n-1}的前n项和T_n．

分析（I）直接利用极坐标与直角坐标互化求出C₁的直角坐标方程，C₂的普通方程．
（II）求出C₁为以（0，1）为圆心，r=1为半径的圆，利用圆心距推出距离的最值得到范围即可．

解答（本小题满分10分）
解：（I）曲线C₁方程为ρ=2sinθ，可得ρ²=2ρsinθ，可得x²+y²=2y，
∴C₁的直角坐标方程：x²+（y-1）²=1，
C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{1}{2}t\\y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$，消去参数t可得：
C₂的普通方程：$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}=0$．…（4分）
（II）由（I）知，C₁为以（0，1）为圆心，r=1为半径的圆，C₁的圆心（0，1）到C₂的距离为$d=\frac{{|{-1+\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{3+1}}}=\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}＜1$，则C₁与C₂相交，P到曲线C₂距离最小值为0，最大值为$d+r=\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$，
则点P到曲线C₂距离的取值范围为$[{0，\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}}]$．…（10分）

点评本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，考查计算能力．